Теорема Адамара является одной из фундаментальных теорем в математике, которая устанавливает существование бесконечного числа простых чисел. Впервые она была сформулирована и доказана французским математиком Шарлем Адамаром в 1896 году.
Суть теоремы заключается в том, что для любого заданного простого числа существует другое простое число, которое больше данного. Доказательство этой теоремы основано на методе быстрого роста функций и применении принципа Бертрана-Чебышева.
Идея доказательства заключается в рассмотрении простого числа p и числа P, определенного как произведение всех простых чисел, меньших или равных p. Затем используется утверждение принципа Бертрана-Чебышева о том, что для любого натурального числа n>1 существует простое число p такое, что n Теория делимости занимается изучением свойств делителей чисел и их взаимоотношений. В рамках этой теории, каждое составное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это известно как основная теорема арифметики и является одной из фундаментальных теорем в математике. Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел, и это представление единственно с точностью до порядка сомножителей. Таким образом, понимание составных чисел и теории их разложения на простые множители играет важную роль в доказательстве теорем о простых числах, таких как теорема Адамара. Разложение составных чисел на простые множители позволяет лучше понять их внутренние свойства и взаимосвязи. ap-1 ≡ 1 (mod p) Это соотношение позволяет проверить, является ли число простым, с помощью Малой теоремы Ферма. Однако, существует альтернативный метод проверки чисел на простоту — Рабинов тест. Рабинов тест основан на использует малую теорему Ферма, но в отличие от нее, не может давать абсолютного результата, но позволяет с высокой вероятностью определить простоту числа. Рабинов тест основан на следующем сопоставлении: Если для случайного числа a и простого числа p выполняется соотношение: ap-1 ≡ 1 (mod p) или a2r ≡ -1 (mod p) для некоторого натурального r, где p-1 = 2r * q, и q — нечетное число, то число p с большой вероятностью является простым. Таким образом, Рабинов тест позволяет эффективно проверять числа на простоту, используя идеи Малой теоремы Ферма. Одним из ключевых понятий, связанных с простыми числами, являются F-числа. F-числа представляют собой последовательность целых чисел, определенную рекуррентным соотношением Интересным свойством F-чисел является то, что они появляются во множестве простых чисел. Например, число 5 является простым числом и одновременно является вторым числом в последовательности F-чисел. Аналогично, число 13 является и простым числом, и шестым числом в последовательности F-чисел. Существует также связь между F-числами и золотым сечением. Золотое сечение – это математическое соотношение, которое представляет собой деление отрезка на две части таким образом, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей. Простые числа и F-числа являются фундаментальными элементами в математике и имеют множество интересных свойств и взаимосвязей. Изучение этих числовых последовательностей и их связей помогает понять различные аспекты числовых систем и природу простых чисел. Иными словами, для любой арифметической прогрессии вида a+nb (где n — любое целое число) найдется бесконечно много простых чисел. Теорема Дирихле стала одной из основных теорем в области аналитической теории простых чисел и имеет важные применения в доказательстве других теорем на основе аналитических методов. Теорема Дирихле играет важную роль в теории простых чисел и имеет множество приложений в различных областях математики. В контексте простых чисел, метод включений-исключений позволяет сосчитать количество чисел, которые делятся на простые числа из заданного множества. Это помогает определить, сколько чисел в заданном диапазоне являются простыми. Сначала мы включаем все числа, которые делятся на каждый простой фактор по отдельности. Например, если у нас есть 3 простых числа в множестве {p1, p2, p3}, то мы включаем все числа, которые делятся на p1, на p2 и на p3. Затем мы исключаем все числа, которые делятся на два простых фактора одновременно. Например, мы исключаем числа, которые делятся и на p1, и на p2, числа, которые делятся и на p1, и на p3, и числа, которые делятся и на p2, и на p3. Последующие шаги заключаются в исключении чисел, которые делятся на три простых фактора одновременно, на четыре простых фактора и так далее. После всех этих шагов мы можем определить количество чисел, которые остались неисключенными. Изначально мы включали все числа, которые делятся на простые факторы, а затем исключали те, которые делятся на два и более простых фактора одновременно. Таким образом, количество оставшихся чисел будет представлять собой количество простых чисел в заданном диапазоне. Пусть a и b — взаимно простые числа, а p — нечетное простое число, не делящее ни a, ни b. Тогда символ Лежандра a/p и b/p определяются как: a/p = 1, если a является квадратичным вычетом по модулю p, a/p = -1, если a является квадратичным невычетом по модулю p. Теорема Гаусса-Лежандра утверждает, что для любых квадратичных вычетов a и b по модулю простого числа p выполняется следующее: (ab/p) = (a/p) * (b/p) Здесь (ab/p) обозначает символ Лежандра и слева от знака равенства стоит символ Лежандра для произведения ab, а справа — произведение двух символов Лежандра для чисел a и b по отдельности. Теорема Гаусса-Лежандра является фундаментальным результатом в теории символов Лежандра и имеет множество применений, включая простые числа, тесты простоты и криптографию.Составные числа и теория делимости
Малая теорема Ферма и Рабинов тест
Простые числа и F-числа
F(n) = F(n-1) + F(n-2), где F(0) = 0 и F(1) = 1. Начиная с первых двух чисел, каждое последующее число является суммой двух предыдущих.Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
Доказательство теоремы: Теорию доказательства теоремы Дирихле разработал итальянский математик, Леонардо Фибоначчи, в 15 веке. Доказательство основано на знании делимости и применимости формул эйлеровой функции, которая позволяет определить количество положительных целых чисел, меньших и взаимно простых с некоторым заданным числом. На основе эйлеровой функции фи(n), доказательство теоремы позволяет утверждать, что количество простых чисел в арифметической прогрессии a+nb бесконечно. Метод включений-исключений и простые числа
Теорема Гаусса-Лежандра о сложении квадратичных вычетов