Гипотеза о нормальном распределении играет важную роль в анализе данных. Нормальное распределение, также известное как распределение Гаусса, является одним из наиболее распространенных и полезных распределений в статистике. Оно имеет много свойств, которые делают его привлекательным для многих приложений, таких как моделирование, прогнозирование и проверка гипотез.
1. Графический анализ
Первым шагом в проверке гипотезы о нормальном распределении является графический анализ данных. Вы можете построить гистограмму и график Q-Q для ваших наблюдений и сравнить их с ожидаемыми значениями. Если данные следуют нормальному распределению, то гистограмма будет похожа на колокол, а Q-Q график будет следовать прямой линии.
Примечание: Во избежание искажения результатов всегда убедитесь, что ваша выборка достаточно большая.
2. Шапиро-Уилка тест
Шапиро-Уилка тест является одним из наиболее распространенных тестов на нормальность. Он базируется на оценке анализа ковариации между рангами данных и ожидаемыми рангами в случае нормального распределения. Если p-значение, полученное из теста, меньше выбранного уровня значимости, то гипотеза о нормальности отвергается. В противном случае гипотеза не может быть отвергнута.
Это только первые два метода из семи, которые мы рассмотрим в этой статье. Познакомившись с этими и другими методами, вы сможете более осознанно и эффективно проверять гипотезу о нормальном распределении ваших данных.
Метод Шапиро-Уилка
Для проведения теста по методу Шапиро-Уилка, необходимо выполнить следующие шаги:
- Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы:
- Нулевая гипотеза: данные имеют нормальное распределение.
- Альтернативная гипотеза: данные не имеют нормального распределения.
- Подготовить выборку данных для анализа. Данные могут быть как числовыми, так и категориальными.
- Вычислить статистику теста по формуле, которая учитывает эмпирическую функцию распределения, среднее и стандартное отклонение выборки.
- Сравнить полученную статистику с табличным значением, используя специальные таблицы или статистический программный пакет.
- Если полученная статистика значимо отличается от табличной, то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной.
- Если полученная статистика не отличается от табличной, то нулевая гипотеза не может быть отвергнута.
Метод Шапиро-Уилка является робастным к выбросам и позволяет проверять даже небольшие выборки. Однако, он имеет ограничение по точности в случае, если выборка содержит равные значения.
Критерий Колмогорова-Смирнова
Для использования критерия Колмогорова-Смирнова необходимо провести следующие шаги:
- Построить эмпирическую функцию распределения (ЭФР) на основе исходных данных.
- Построить теоретическую функцию распределения для предполагаемого нормального распределения.
- Сравнить ЭФР с теоретической функцией распределения с помощью критерия Колмогорова-Смирнова.
Результатом применения критерия Колмогорова-Смирнова является p-значение, которое показывает, насколько вероятно получить такие или более экстремальные отклонения между эмпирической и теоретической функциями, если предполагаемая гипотеза о нормальном распределении верна.
Если p-значение меньше заданного уровня значимости, то гипотеза о нормальном распределении отклоняется.
Критерий Колмогорова-Смирнова является достаточно мощным и чувствительным методом для проверки гипотезы о нормальном распределении, однако он имеет некоторые ограничения, такие как нечувствительность к асимметричным распределениям и требование большого размера выборки для точного вычисления p-значения.
Тест Андерсона-Дарлинга
Процедура теста состоит из следующих шагов:
- Вычисление значений эмпирической функции распределения для данных
- Вычисление значений теоретической функции распределения для нормального распределения с параметрами, рассчитанными по данным
- Сравнение значений эмпирической и теоретической функций распределения с помощью статистики теста Андерсона-Дарлинга
- Определение критического значения статистики теста
- Сравнение значений статистики теста с критическим значением
Если значени
Критерий Лиллиефорса
Для использования критерия Лиллиефорса выполняется следующая последовательность шагов:
- Проводится сравнение статистики Лиллиефорса с таблицей критических значений. Статистика Лиллиефорса вычисляется по формуле:
- S(x) — стандартная ЭФР
- Φ(x) — функция распределения нормального распределения
- Если полученное значение статистики Лиллиефорса меньше критического значения из таблицы, то гипотеза о нормальности распределения принимается. В противном случае гипотеза отклоняется.
D = max|S(x) — Φ(x)|
где:
Основным преимуществом использования критерия Лиллиефорса является его простота и универсальность. Критерий можно применять для любой выборки и любого размера. Также стоит отметить, что критерий Лиллиефорса является наиболее мощным среди критериев сопоставимой сложности.
Однако следует помнить, что независимо от результатов критерия Лиллиефорса, проверка нормальности распределения требует использования нескольких различных методов и оценок. Это обусловлено тем, что ни один критерий не является идеальным и может давать ошибочные результаты при некоторых условиях. Поэтому рекомендуется применять еще несколько статистических методов для проверки нормальности распределения данных.
Тест Жарка-Бера
Для применения теста Жарка-Бера необходимо иметь выборку данных, размер которой составляет более 2 000 наблюдений. Если p-value (уровень значимости) меньше выбранного критического значения (обычно 0.05), то мы можем отвергнуть нулевую гипотезу о нормальности распределения.
Коэффициент эксцесса (кривизна) показывает степень остроты пика распределения, а коэффициент асимметрии (смещение) характеризует симметрию или асимметрию распределения относительно его среднего значения.
Тест Жарка-Бера применяется в различных областях, включая финансы, экономику, биологию, социологию. Он используется для проверки предположений о нормальности данных, которые требуются для применения некоторых статистических моделей и методов.
Но необходимо отметить, что тест Жарка-Бера имеет ограничения и может давать ложноположительные или ложноотрицательные результаты, особенно при небольших размерах выборки или в случае наличия выбросов. Поэтому при проведении статистического анализа необходимо принимать во внимание и другие методы проверки гипотезы о нормальности данных.
Критерий Д’Агостино-Пирсона
Для выполнения этого критерия необходимо:
- Получить выборку данных.
- Вычислить значения выборочного среднего и выборочной дисперсии.
- Вычислить значения нормализованных моментов высших порядков.
- Вычислить статистику критерия Д’Агостино-Пирсона.
- Сравнить вычисленное значение статистики с критическим значением из таблицы.
Вычисление статистики критерия д’Агостино-Пирсона осуществляется с использованием формулы:
𝑋2 = 𝑛 ∑[𝑘=1, 𝑛] (𝑧𝑘2 − 1)
где:
- 𝑛 — размер выборки данных;
- 𝑧𝑘 — нормализованные значения выборочных моментов высших порядков.
Критическое значение статистики можно найти в таблице критических значений распределения хи-квадрат. Если вычисленное значение статистики превышает критическое значение, то гипотеза о нормальном распределении отвергается.
Критерий Д’Агостино-Пирсона широко применяется в различных областях науки и индустрии, где необходимо оценивать нормальность распределения данных. Он обладает высокой степенью точности и может быть удобным инструментом для анализа статистических данных.
| Размер выборки | Выборочное среднее | Выборочная дисперсия | Нормализованные значения моментов | Статистика критерия | Критическое значение | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 5.2 | 0.8 | 0.1 | 10.5 | 15.5 | Гипотеза отвергается |
Тест Шапиро-Френча
Для проведения теста Шапиро-Френча необходимо собрать выборку данных и вычислить значения статистики теста. Затем сравнить полученное значение статистики с критическим значением, которое зависит от уровня значимости и размера выборки.
Если значение статистики меньше критического значения, то нулевая гипотеза о нормальности распределения принимается. В противном случае, нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной гипотезы.
Тест Шапиро-Френча обладает хорошей мощностью и способен обнаружить даже небольшие отклонения от нормальности. Однако, он имеет некоторые ограничения и может давать ложноположительные результаты при больших выборках.
В общем случае, результаты теста Шапиро-Френча стоит рассматривать вместе с результатами других методов, чтобы получить более достоверную информацию о нормальности распределения.
Пример использования теста Шапиро-Френча:
1. Собрать выборку данных.
2. Вычислить значения статистики теста.
3. Сравнить полученное значение статистики с критическим значением.
4. Принять или отвергнуть нулевую гипотезу о нормальности распределения.