Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем умножения предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем. Важным аспектом геометрической прогрессии является нахождение суммы всех чисел этой последовательности. Начиная с первого элемента и заканчивая заданным номером элемента, нахождение суммы геометрической прогрессии позволяет нам понять, насколько «велика» величина этой последовательности и использовать ее в различных математических примерах и задачах.
Сумма геометрической прогрессии может быть найдена с использованием специальной формулы, которая зависит от значения знаменателя и количества членов прогрессии. Обозначим первый элемент прогрессии через a, а знаменатель — через r. Для нахождения суммы геометрической прогрессии сначала нужно определить, включено ли число 1 в эту последовательность. Если это так, тогда сумма геометрической прогрессии будет следующим выражением:
S = a(1 — r^n) / (1 — r),
где n — количество членов прогрессии. Если число 1 не входит в прогрессию, формула будет выглядеть следующим образом:
S = a / (1 — r).
Давайте рассмотрим примеры, чтобы лучше понять, как работает эта формула при нахождении суммы геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия и ее сумма
an = a1 * q(n-1)
где an — n-й член ГП, a1 — первый член ГП, q — знаменатель ГП, n — номер члена ГП.
Если геометрическая прогрессия имеет конечное число членов (n членов), то сумма всех чисел этой прогрессии вычисляется следующей формулой:
Sn = a1 * (1 — qn) / (1 — q)
где Sn — сумма n членов ГП, a1 — первый член ГП, q — знаменатель ГП, n — число членов ГП.
Пример 1:
| n | an |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
Дана геометрическая прогрессия с a1 = 2 и q = 2. Найдем сумму первых 4 членов этой прогрессии:
Sn = 2 * (1 — 24) / (1 — 2) = 2 * (1 — 16) / (-1) = 2 * (-15) / (-1) = 30
Таким образом, сумма первых 4 членов данной геометрической прогрессии равна 30.
Пример 2:
| n | an |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 12 |
| 4 | 24 |
Дана геометрическая прогрессия с a1 = 3 и q = 2. Найдем сумму первых 4 членов этой прогрессии:
Sn = 3 * (1 — 24) / (1 — 2) = 3 * (1 — 16) / (-1) = 3 * (-15) / (-1) = 45
Таким образом, сумма первых 4 членов данной геометрической прогрессии равна 45.
Определение геометрической прогрессии
an = a1 * q(n-1)
где an — n-й член прогрессии, a1 — первый член прогрессии, q — знаменатель (коэффициент возрастания) прогрессии, n — номер члена прогрессии.
Например, в прогрессии 2, 4, 8, 16, 32 каждый следующий член получается умножением предыдущего на 2. Здесь a1 = 2, q = 2. Первый член — это начальный элемент прогрессии, а знаменатель определяет, во сколько раз каждый следующий член больше предыдущего.
Формула для нахождения суммы геометрической прогрессии
Чтобы найти сумму геометрической прогрессии, используется следующая формула:
Sn = a * (qn — 1) / (q — 1)
Где:
- Sn — сумма первых n членов прогрессии
- a — первый член прогрессии
- q — знаменатель прогрессии
- n — количество членов прогрессии
Например, если первый член прогрессии (a) равен 2, знаменатель (q) равен 3 и количество членов (n) равно 4, то сумма геометрической прогрессии будет:
S4 = 2 * (34 — 1) / (3 — 1) = 2 * (81 — 1) / 2 = 80
Таким образом, сумма первых 4 членов геометрической прогрессии с первым членом 2 и знаменателем 3 равна 80.