Построение функции нормального распределения на Python с примерами и кодом

Распределение вероятностей играет важную роль в статистике и анализе данных. Одним из наиболее часто встречающихся типов распределений является нормальное распределение, также известное как распределение Гаусса. Оно является основой для многих статистических методов и используется во множестве практических задач.

Python, как один из самых популярных языков программирования для анализа данных, предоставляет мощные инструменты для работы с нормальным распределением. С помощью функций и библиотек Python можно не только генерировать случайные числа из нормального распределения, но и строить графики плотности и функции распределения, а также проводить статистические тесты на нормальность данных.

В этой статье мы рассмотрим основные принципы построения функции нормального распределения на Python. Мы рассмотрим различные методы генерации случайных чисел из нормального распределения, а также научимся строить графики плотности вероятности и функции распределения. Кроме того, мы рассмотрим статистические тесты на нормальность данных и их использование в практических задачах.

Что такое функция нормального распределения?

Функция нормального распределения описывает случайные величины, которые имеют белый шум, т.е. случайные величины без определенного закона или структуры. Она является симметричной и колоколообразной, с максимальным значением (пиком) в центре и постепенным убыванием вероятностей по обе стороны.

Функция нормального распределения подчиняется следующей формуле:

f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))

где μ означает математическое ожидание (среднее значение) случайной величины, σ – стандартное отклонение, а e – экспоненциальная константа (~2.71828).

Функция нормального распределения широко используется в различных областях, таких как физика, экономика, финансы, биология и социальные науки. Она позволяет моделировать и анализировать случайные явления, предсказывать их распределение и вероятность появления конкретных значений.

Понятие и основные характеристики

Основные характеристики функции нормального распределения:

• Математическое ожидание (μ): центральное значение функции нормального распределения, которое определяет её симметрию относительно вертикальной оси.
• Стандартное отклонение (σ): мера разброса значений случайной величины вокруг математического ожидания. Оно определяет ширину колокола функции нормального распределения.
• Вероятность попадания в интервал (a, b): вероятность, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение в интервале между a и b. Эта вероятность вычисляется под интегральной кривой функции нормального распределения.
• Форма колокола: функция нормального распределения обладает колоколообразной формой с максимумом в математическом ожидании. Она имеет симметричное распределение относительно оси симметрии (μ), а ширина колокола определяется стандартным отклонением (σ).

Основным свойством функции нормального распределения является то, что большинство (около 68%) случайных значений лежит в пределах одного стандартного отклонения от математического ожидания.

Применение функции нормального распределения в статистике

Другим применением функции нормального распределения является моделирование случайных процессов. Нормальное распределение помогает создавать случайные величины, которые могут быть использованы для генерации случайных данных в различных областях, таких как финансы, экономика, физика и многие другие.

Таким образом, функция нормального распределения является неотъемлемой частью статистики и науки о данных. Ее применение позволяет моделировать случайные явления, анализировать данные, проводить статистические тесты и делать прогнозы.

Примеры использования

Вот несколько примеров использования функции нормального распределения:

Пример 1: Расчет вероятности попадания значений в заданный интервал. Например, мы хотим узнать вероятность того, что случайная величина X будет находиться в диапазоне от 60 до 80:

from scipy.stats import norm

mean = 70 # среднее значение

std_dev = 10 # стандартное отклонение

probability = norm.cdf(80, mean, std_dev) — norm.cdf(60, mean, std_dev)

Вероятность будет равна probability.

Пример 2: Построение графика функции нормального распределения:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3, 3, 100)

y = norm.pdf(x, 0, 1)

plt.plot(x, y)

plt.xlabel(‘x’)

plt.ylabel(‘Probability Density Function’)

plt.title(‘Normal Distribution’)

plt.show()

Пример 3: Генерация случайных чисел, следующих нормальному распределению:

random_numbers = norm.rvs(mean, std_dev, size=100)

В результате получим массив, содержащий 100 случайных чисел, следующих нормальному распределению с заданными средним значением (mean) и стандартным отклонением (std_dev).

Как построить функцию нормального распределения на Python?

Для начала необходимо импортировать необходимые модули:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

Затем задаем параметры распределения:

mu = 0  # среднее значение
sigma = 1  # стандартное отклонение

Далее создаем массив значений для оси x:

x = np.linspace(-5, 5, 100)  # массив значений от -5 до 5 с 100 точками

Исходя из заданных параметров, вычисляем значения функции нормального распределения:

y = norm.pdf(x, mu, sigma)  # вычисление значений функции нормального распределения

И, наконец, строим график функции нормального распределения:

plt.plot(x, y)  # построение графика
plt.xlabel('x')  # подпись оси x
plt.ylabel('Probability Density')  # подпись оси y
plt.title('Normal Distribution')  # заголовок графика
plt.show()  # отображение графика

Таким образом, мы построили функцию нормального распределения с заданными параметрами и визуализировали ее с помощью библиотеки matplotlib.

Примеры кода

Вот несколько примеров кода на Python для построения функции нормального распределения:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mu = 0
sigma = 1
x = np.linspace(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma, 100)
y = np.exp(-(x - mu)**2 / (2*sigma**2)) / (sigma * np.sqrt(2*np.pi))
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('PDF')
plt.title('Нормальное распределение')
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
mu = 0
sigma = 1
x = np.linspace(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma, 100)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('PDF')
plt.title('Нормальное распределение')
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
mu = 0
sigma = 1
data = np.random.normal(mu, sigma, 1000)
sns.histplot(data, kde=True)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Частота')
plt.title('Нормальное распределение')
plt.show()

Это лишь некоторые примеры кода для построения функции нормального распределения на Python. Вы можете использовать их в своих проектах или модифицировать в соответствии с вашими потребностями.

Библиотеки для работы с функцией нормального распределения на Python

Эти библиотеки очень популярны в сообществе данных Python и могут быть использованы для различных задач, связанных с функцией нормального распределения. Они предоставляют удобный интерфейс и множество функций, что делает работу с нормальным распределением на Python легкой и удобной.