Что такое вписанная и описанная окружности — определение и свойства

В математике окружность – одна из самых известных геометрических фигур, которая представляет собой множество точек, равноудаленных от заданной точки, называемой центром окружности. Окружность обладает множеством интересных свойств и имеет множество применений в различных областях науки и техники.

Одним из важных понятий, связанных с окружностью, является вписанная окружность. Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон данного многоугольника. Иными словами, каждая сторона многоугольника является секущей для вписанной окружности. Вписанная окружность является наибольшей окружностью, которую можно вписать в данный многоугольник, и она обладает рядом интересных свойств.

Очень похожим понятием является описанная окружность. Описанная окружность – это окружность, которая проходит через все вершины данного многоугольника. То есть, каждая вершина многоугольника лежит на описанной окружности. Описанная окружность является наибольшей окружностью, в которую можно вписать данный многоугольник.

В этой статье мы более подробно рассмотрим свойства вписанной и описанной окружностей, а также рассмотрим их применение в различных задачах геометрии и техники.

Определение вписанной окружности

Вписанная окружность обладает рядом свойств:

• Каждая сторона многоугольника или фигуры является касательной к вписанной окружности;
• Точка касания стороны со вписанной окружностью называется точкой касания или точкой вписания;
• Сумма длин всех сторон многоугольника или фигуры равна периметру вписанной окружности;
• Площадь многоугольника или фигуры можно рассчитать с использованием радиуса вписанной окружности и полупериметра;
• Радиус вписанной окружности является биссектрисой внутреннего угла многоугольника или фигуры.

Вписанная окружность является важным элементом геометрии и находит свое применение в различных задачах и конструкциях.

Определение описанной окружности

Описанная окружность — это одна из важных геометрических особенностей треугольника. Она имеет ряд интересных свойств:

• Центр описанной окружности треугольника находится на пересечении перпендикуляров, проведенных посередине сторон треугольника.
• Радиус описанной окружности равен половине длины диаметра, который соединяет две любые вершины треугольника.
• Описанная окружность проходит через ортоцентр треугольника (точку пересечения высот треугольника).

Описанная окружность является важным инструментом в геометрии и широко используется при решении задач и построении дополнительных линий и отрезков в треугольнике.

Свойства вписанной окружности

1. Точка касания: Вписанная окружность имеет точку касания с каждой стороной многоугольника, которая называется точкой касания.
2. Радиус и центр: Радиус вписанной окружности является перпендикуляром, проведенным из точки касания до центра окружности. Центр вписанной окружности совпадает с центром многоугольника.
3. Угол и хорда: Вписанная окружность образует углы, которые равны половине соответствующих центральных углов многоугольника. Каждая сторона многоугольника является хордой вписанной окружности.
4. Теорема тангенсов: Для любого угла в многоугольнике с вершиной в точке касания и сторонами, пересекающими этот угол, сумма квадратов длин секущей и длины смежной части касательной равна произведению длин двух других секущих, проходящих через эту вершину.

Использование вписанной окружности помогает решать различные геометрические задачи, такие как нахождение площади многоугольника или нахождение длины сторон.

Свойства описанной окружности

Вот основные свойства описанной окружности:

1. Описанная окружность треугольника проходит через все его вершины. Это означает, что если три точки находятся на одной окружности, они образуют треугольник.
2. Радиус описанной окружности всегда равен половине длины диагонали вписанного в нее треугольника.
3. Точка пересечения двух перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, лежит на описанной окружности.
4. Для прямоугольного треугольника описанная окружность совпадает с гипотенузой.
5. Сумма мер дуг, которые опираются на одну сторону треугольника, равна 180 градусам.

Эти свойства описанной окружности помогают в решении различных геометрических задач, а также используются в доказательствах теорем и построении других фигур.