Параллелограмм в геометрии – одна из самых важных фигур. Это многоугольник с двумя парами параллельных сторон. Доказательство параллелограмма abcd является доказательством одной из самых фундаментальных теорем в геометрии.
Для начала, рассмотрим пару сторон ab и cd. Чтобы доказать, что они параллельны, нам нужно показать, что их векторы равны. Предположим, что а и с – точки пересечения этих сторон. Для начала, найдем векторы ab и cd, используя формулу вычитания векторов:
ab = b — a
cd = d — c
ab = cd
Если мы докажем это, то доказательство параллелограмма abcd будет завершено. Дальнейшие шаги зависят от конкретной задачи и условий, но обычно они сводятся к поиску дополнительных свойств фигуры и применению достаточных условий для параллелограмма.
Свойство параллелограмма
Основными свойствами параллелограмма являются:
| Стороны | Противоположные стороны параллельны и равны по длине. |
| Углы | Противоположные углы равны. |
| Диагонали | Диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке, которая является центром симметрии. |
| Периметр | Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. |
| Площадь | Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одной стороны на высоту, проведенную к этой стороне. |
Свойства параллелограмма позволяют решать различные задачи, связанные с его конструкцией и вычислениями.
Параллельные стороны
Это означает, что данные стороны никогда не пересекутся и будут оставаться параллельными друг другу независимо от своего положения в плоскости параллелограмма. Для доказательства параллельности сторон можно использовать различные методы, например, доказательство с использованием соответствующих углов или прямых.
Параллельные стороны являются одним из ключевых свойств параллелограмма. Это свойство позволяет нам проводить различные геометрические операции и доказательства, основываясь на параллельности сторон.
Противоположные стороны равны
Рассмотрим параллелограмм $\textit{ABCD}$. Пусть точка $\textit{M}$ — середина стороны $\overline{AB}$, а точка $\textit{N}$ — середина стороны $\overline{BC}$. Также обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма $\textit{O}$.
Так как $\text{MN}$ является средней линией треугольника $\text{ABC}$, то она параллельна стороне $\overline{AB}$ и равна половине этой стороны: $\textit{MN} = \frac{\textit{AB}}{2}$.
Аналогично, так как $\text{AN}$ является средней линией треугольника $\text{ABD}$, то она параллельна стороне $\text{AD}$ и равна половине этой стороны: $\textit{AN} = \frac{\textit{AD}}{2}$.
Так как параллелограмм $\textit{ABCD}$ — фигура с параллельными сторонами, то сторона $\overline{AD}$ также параллельна стороне $\overline{MN}$. А значит, $\textit{AD} \parallel \textit{MN}$.
Из двух параллельных прямых $\textit{AD}$ и $\textit{MN}$ мы можем заключить, что $\triangle \text{AND} \sim \triangle \text{OMN}$ по первому признаку подобия треугольников: $\angle \text{N} = \angle \text{N}$ (общий угол); $\angle \text{D} = \angle \text{O}$ (вертикальной угол); $\angle \text{A} = \angle \text{M}$ (вертикальный угол).
Таким образом, треугольники $\triangle \text{AND}$ и $\triangle \text{OMN}$ подобны, и их стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности равен отношению длин сторон $\textit{AN}$ и $\textit{OM}$: $\frac{\textit{AN}}{\textit{OM}} = \frac{\frac{\textit{AD}}{2}}{\frac{\textit{AB}}{2}} = \frac{\textit{AD}}{\textit{AB}}$.
Теперь рассмотрим треугольники $\triangle \text{OND}$ и $\triangle \text{MNB}$. Они также подобны по тем же углам и сторонам, и их стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности равен отношению длин сторон $\textit{ON}$ и $\textit{MN}$: $\frac{\textit{ON}}{\textit{MN}} = \frac{\frac{\textit{AB}}{2}}{\frac{\textit{AB}}{2}} = 1$.
Так как треугольники $\triangle \text{AND}$ и $\triangle \text{OMN}$ имеют общую сторону $\textit{N}$, и коэффициенты пропорциональности равны 1, то эти треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников).
Это означает, что их другие стороны равны: $\textit{AD} = \textit{OM}$. Но $\textit{OM}$ — это половина стороны $\textit{CD}$, а $\textit{AD}$ — это сторона $\textit{CD}$.
Таким образом, мы доказали, что сторона $\overline{AB}$ равна стороне $\overline{CD}$, а сторона $\overline{BC}$ равна стороне $\overline{AD}$. Следовательно, противоположные стороны параллелограмма равны.
Диагонали делятся пополам
В параллелограмме каждая диагональ делит другую диагональ пополам.
Пусть в параллелограмме ABCD диагональ AC пересекает диагональ BD в точке O. Тогда точка O делит диагональ BD на две равные части.
Доказательство:
1. Пусть AO равно OC и BO равно OD.
2. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них соответствующие стороны равны по доказанному равенству, а значит эти треугольники равны (по общей стороне и двум сторонам, равной по длине).
3. Так как треугольники равны, их высоты равны. Высоты треугольников AOB и COD это отрезки BC и AD, соответственно. Значит BC равно AD.
4. Также из равенства треугольников следует, что точка пересечения диагоналей O является серединой стороны BD.
Таким образом, диагонали в параллелограмме делятся пополам.