Научиться определять формулу линейной функции по графику важно для учеников 7 класса, особенно перед грядущими Всероссийскими проверочными работами (ВПР). На этих заданиях часто присутствуют задачи, в которых требуется найти уравнение прямой исходя из предоставленного графика.
Для решения данной задачи необходимо ориентироваться на две характеристики линейной функции: ее наклон и точку пересечения с осью ординат. Наклон можно определить, выбрав две произвольные точки на графике функции и построив через них прямую. Точку пересечения с осью ординат можно определить, найдя значение y при x=0.
Таким образом, чтобы найти формулу линейной функции, нужно определить ее наклон и точку пересечения с осью ординат. Зная эти две характеристики, можно записать уравнение в следующем виде: y = kx + b, где k — наклон функции, а b — точка пересечения с осью ординат.
Как найти формулу линейной функции по графику
Чтобы найти формулу линейной функции по графику, вам понадобится информация о двух точках на графике. Эти точки могут быть, например, начальной и конечной точками или любыми другими известными точками на графике.
Стандартная форма записи линейной функции выглядит так: y = kx + b. Где x и y — координаты точек на графике, k — коэффициент наклона, а b — свободный член.
Чтобы найти коэффициент наклона (k), используйте формулу: k = (y2 — y1) / (x2 — x1), где (x1, y1) и (x2, y2) — координаты двух известных точек.
Чтобы найти свободный член (b), подставьте координаты любой из известных точек (x, y) и найденное значение k в формулу y = kx + b. Затем решите уравнение относительно b.
Например, если у вас есть две точки: (1, 3) и (2, 5), найдем значение k: k = (5 — 3) / (2 — 1) = 2/1 = 2. Затем подставим координаты одной из точек и найденное значение k: 3 = 2 * 1 + b. Решаем уравнение: b = 3 — 2 = 1.
Таким образом, формулу линейной функции по графику можно записать как y = 2x + 1.
Суть метода
Метод нахождения формулы линейной функции по графику включает в себя несколько шагов. Для начала, необходимо внимательно изучить заданный график и найти две точки на нем. Эти точки будут являться известными значениями (x₁, y₁) и (x₂, y₂) на графике.
Далее, мы можем использовать уравнение прямой, которое имеет вид y = kx + b, где k — коэффициент наклона прямой, а b — свободный член. Подставим известные значения x₁ и y₁ в уравнение, чтобы получить первое уравнение:
y₁ = kx₁ + b.
Аналогично, подставим известные значения x₂ и y₂ в уравнение, чтобы получить второе уравнение:
y₂ = kx₂ + b.
Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из двух уравнений с двумя неизвестными (k и b). Применяя методы решения систем линейных уравнений, можно найти значения k и b.
Как только мы найдем значения k и b, мы можем записать окончательную формулу линейной функции:
y = kx + b.
Таким образом, используя этот метод, можно находить формулу линейной функции по заданному графику.
Подготовка к анализу
Перед тем, как найти формулу линейной функции по графику, необходимо провести некоторую подготовку и анализ предоставленных данных. Важно учесть следующие шаги:
- Внимательно рассмотрите предоставленный график линейной функции. Убедитесь, что у вас есть все необходимые данные, такие как координаты точек, наклон графика и т.д.
- Изучите масштаб осей координат на графике. Определите, какие значения соответствуют единице на оси абсцисс (горизонтальная ось) и оси ординат (вертикальная ось).
- Определите две точки на графике, через которые можно провести прямую линию. Выберите точки, которые лежат на удобном расстоянии друг от друга и у которых координаты хорошо видны.
- Запишите координаты выбранных точек в виде значений (x, y), где x — значение на оси абсцисс, а y — значение на оси ординат.
- Используя данные точек, вычислите значение наклона (a) прямой линии. Формула для расчета наклона: a = (y2 — y1) / (x2 — x1), где (x1, y1) и (x2, y2) — выбранные точки.
- Найдите значение свободного члена (b) прямой линии, используя одну из координат точек и значение наклона. Формула для расчета свободного члена: b = y — ax, где (x, y) — координаты одной из выбранных точек, а a — значение наклона.
После выполнения всех вышеперечисленных шагов, вы получите формулу линейной функции вида y = ax + b, где a — наклон прямой линии, а b — свободный член.
Определение коэффициентов
Для нахождения формулы линейной функции по графику необходимо определить значения двух коэффициентов: коэффициента наклона и свободного члена.
Коэффициент наклона (k) показывает, насколько быстро изменяется значение функции в зависимости от изменения значения аргумента. Он вычисляется как отношение вертикального изменения функции (приращение значения) к соответствующему горизонтальному изменению аргумента (приращение значения аргумента).
Свободный член (b) представляет собой значение функции при нулевом значении аргумента. Он также является точкой пересечения графика с осью ординат (ось значений).
Для определения значений коэффициента наклона и свободного члена можно использовать любые две точки, через которые проходит график линейной функции. Если известны координаты этих двух точек, можно использовать формулу:
| Формула | Описание |
|---|---|
| k = (y2 — y1) / (x2 — x1) | Формула для вычисления коэффициента наклона |
| b = y1 — k * x1 | Формула для вычисления свободного члена |
Где (x1, y1) и (x2, y2) — координаты двух выбранных точек на графике линейной функции.
Примеры решения задач
Решение задач по поиску формулы линейной функции по графику включает несколько шагов. Рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как это делается.
Пример 1:
Пусть дан график линейной функции, проходящей через точки (-2, 3) и (4, 5). Найдем формулу функции.
Шаг 1: Найдем величину наклона (коэффициент при х). Для этого воспользуемся формулой:
k = (y2 — y1) / (x2 — x1)
где (x1, y1) и (x2, y2) – координаты точек на графике.
В данном случае:
k = (5 — 3) / (4 — (-2)) = 2 / 6 = 1/3
Шаг 2: Используя найденный наклон, выберем одну из точек и запишем уравнение функции в виде:
y — y1 = k(x — x1)
Выберем точку (-2, 3) и подставим в формулу:
y — 3 = (1/3)(x — (-2))
Упростим уравнение:
y — 3 = (1/3)(x + 2)
Получаем итоговую формулу линейной функции:
y = (1/3)(x + 2) + 3
Пример 2:
Дан график линейной функции, проходящей через точку (1, 4) и параллельного графику функции y = 2x — 1. Найдем формулу функции.
Шаг 1: Так как искомая линейная функция параллельна функции y = 2x — 1, то она имеет тот же наклон. Значит, коэффициент при х в искомой функции также равен 2.
Шаг 2: Используя найденный наклон, выберем одну из точек и запишем уравнение функции в виде:
y — y1 = k(x — x1)
Выберем точку (1, 4) и подставим в формулу:
y — 4 = 2(x — 1)
Упростим уравнение:
y — 4 = 2x — 2
Получаем итоговую формулу линейной функции:
y = 2x — 2 + 4
Таким образом, мы рассмотрели два примера решения задачи по поиску формулы линейной функции по графику. Важно помнить, что для решения задачи необходимо знать хотя бы одну точку на графике и наклон этого графика.
Важные моменты анализа
- Наклон графика: Проверьте, насколько график наклонен. Если он стремится вверх, то это говорит о положительном коэффициенте при x в формуле. Если график стремится вниз, значит, коэффициент отрицательный.
- Пересечение с осью ординат: Проверьте точку пересечения графика с осью ординат. Если она находится выше нуля, то свободный член в формуле положительный. Если точка находится ниже нуля, то свободный член отрицательный.
- Уклон графика: Измерьте уклон графика, чтобы узнать значение коэффициента при x. Это можно сделать, выбрав две любые точки на графике и использовав формулу нахождения углового коэффициента.
- Линейность: Убедитесь, что функция является линейной, то есть что график представляет собой прямую. Если график имеет изгибы или нелинейную форму, то это не является линейной функцией.
Учитывая эти важные моменты, вы сможете анализировать график линейной функции и найти ее формулу с большей точностью.
Полезные советы
1. Выделите две точки на графике.
Выберите любые две точки на графике линейной функции и запишите их координаты, обозначив их как (x₁, y₁) и (x₂, y₂).
2. Рассчитайте прирост по оси y.
Вычислите разность между значениями y-координат выбранных точек: Δy = y₂ — y₁.
3. Рассчитайте прирост по оси x.
Вычислите разность между значениями x-координат выбранных точек: Δx = x₂ — x₁.
4. Рассчитайте коэффициент наклона a.
Зная Δy и Δx, можно рассчитать коэффициент наклона a с помощью формулы: a = Δy / Δx.
5. Определите свободный член b.
Выберите одну из двух точек на графике и подставьте ее координаты в уравнение линейной функции: y = ax + b. Решите уравнение относительно b.
6. Запишите уравнение линейной функции.
Подставьте найденные значения a и b в уравнение y = ax + b и получите уравнение линейной функции.
Успешно найденная формула линейной функции позволит вам легко находить значения y для любых значений x на данном графике.
На основе изучения графика линейной функции в 7 классе, мы можем найти формулу такой функции. Для этого необходимо знать две точки на графике и воспользоваться формулой для нахождения коэффициента наклона прямой и точки пересечения с осью OY.
Процесс нахождения формулы линейной функции по графику включает в себя:
- Выбор двух точек на графике.
- Нахождение разности значений координат точек по оси OX и OY.
- Вычисление коэффициента наклона прямой с использованием формулы: k = (y2 — y1) / (x2 — x1).
- Определение точки пересечения с осью OY путем подстановки координат одной из точек в формулу прямой.
Итак, после выполнения всех этих шагов, мы получим формулу линейной функции вида: y = kx + b, где k — коэффициент наклона, а b — точка пересечения с осью OY.
Умение находить формулу линейной функции по графику является важным навыком для решения задач по анализу данных и применения математических моделей в реальных ситуациях.