Как найти третью сторону треугольника — формула и примеры для расчета длины третьей стороны

Треугольник — это геометрическая фигура, которая имеет три стороны и три угла. Во многих задачах по геометрии может потребоваться найти третью сторону треугольника, если известны длины двух других сторон. Для этого можно использовать формулу для нахождения третьей стороны треугольника, а также различные методы и примеры.

Самой часто используемой формулой для нахождения третьей стороны треугольника является теорема Пифагора. Если известны длины катетов прямоугольного треугольника, то с помощью этой формулы можно вычислить гипотенузу. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, для нахождения третьей стороны треугольника нужно найти квадрат гипотенузы как сумму квадратов катетов и извлечь из него квадратный корень.

Например, если известны длины двух сторон треугольника: a = 3 и b = 4, то для нахождения третьей стороны треугольника применяем формулу теоремы Пифагора:

c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 5.

Формула для нахождения третьей стороны треугольника

Для нахождения третьей стороны треугольника существует формула, которая называется теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Таким образом, если известны длины двух сторон треугольника, можно найти длину третьей стороны, применяя теорему Пифагора.

Формула выглядит следующим образом:

• Если известны длины катетов a и b, то длина гипотенузы c равна √(a^2 + b^2).
• Если известны длины гипотенузы c и одного из катетов a, то длина второго катета b равна √(c^2 — a^2)

Пример:

1. Даны две стороны треугольника: a = 3 и b = 4
• Используя формулу √(a^2 + b^2), находим длину гипотенузы c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
2. Даны гипотенуза c = 5 и один из катетов a = 3
• Используя формулу √(c^2 — a^2), находим длину второго катета b = √(5^2 — 3^2) = √(25 — 9) = √16 = 4

Таким образом, формула теоремы Пифагора позволяет находить третью сторону треугольника по известным длинам других сторон, что является важным инструментом при решении геометрических задач и построении треугольников.

Формула на основе теоремы Пифагора

Для нахождения третьей стороны треугольника можно использовать формулу, основанную на теореме Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Формула выглядит следующим образом:

с² = а² + b²

где:

• с — длина гипотенузы;
• а и b — длины катетов.

Для нахождения третьей стороны треугольника, если известны длины двух сторон, можно использовать следующий способ:

1. Составить уравнение по формуле теоремы Пифагора, где с — искомая сторона:

с² = а² + b²

2. В данном уравнении исключить переменные а и b, оставив только неизвестную сторону с.

с² = а² + b² — 2аb·cos(γ)

3. Найти значение корня из уравнения, чтобы получить длину третьей стороны треугольника.

с = √(а² + b²)

Приведенная формула позволяет находить третью сторону треугольника по двум известным сторонам, при условии, что треугольник не является прямоугольным.

Формула на основе равенства треугольников

Существует формула, основанная на равенстве треугольников, которая позволяет найти третью сторону треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

Эта формула называется «теоремой косинусов» и выглядит следующим образом:

c² = a² + b² — 2ab cos(C)

Где:

• c — длина третьей стороны треугольника
• a и b — длины двух других сторон треугольника
• C — угол между сторонами a и b

Применение этой формулы позволяет найти третью сторону треугольника, даже если его стороны и углы не являются прямыми или равносторонними.

Вот пример использования формулы на основе равенства треугольников:

Допустим, у нас есть треугольник, в котором известны следующие данные:

• Сторона a = 5
• Сторона b = 7
• Угол C = 60 градусов

Чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем использовать формулу косинусов:

c² = (5² + 7² — 2 * 5 * 7 * cos(60°)

c² = 25 + 49 — 70 * 0.5

c² = 74 — 35

c² = 39

c = √39 ≈ 6.24

Таким образом, третья сторона треугольника составляет примерно 6.24.

Примеры нахождения третьей стороны треугольника

Для нахождения третьей стороны треугольника можно использовать теорему Пифагора или правило косинусов. Рассмотрим несколько примеров применения этих методов.

Пример 1:

Известно, что первая сторона треугольника равна 3, а вторая сторона равна 4. Найдем третью сторону, используя теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов катетов. Поэтому, третья сторона треугольника равна корню из суммы квадратов первой и второй стороны.

Третья сторона = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Пример 2:

Известно, что угол между первой и второй сторонами треугольника равен 60 градусов, первая сторона равна 6, а вторая сторона равна 8. Найдем третью сторону, используя правило косинусов.

Правило косинусов гласит, что квадрат третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Поэтому, третья сторона треугольника равна корню из разности суммы квадратов первой и второй сторон и произведения этих сторон на косинус угла.

Третья сторона = √(6^2 + 8^2 — 2 * 6 * 8 * cos(60°)) = √(36 + 64 — 96 * 0.5) = √(100 — 48) = √52 ≈ 7.21.

Пример 3:

Известно, что две стороны треугольника равны 5 и 7, а угол между ними равен 45 градусов. Найдем третью сторону, используя правило косинусов.

Третья сторона = √(5^2 + 7^2 — 2 * 5 * 7 * cos(45°)) = √(25 + 49 — 70 * √2/2) = √(74 — 35 √2) ≈ 2.37.

Таким образом, нахождение третьей стороны треугольника может быть осуществлено с использованием формулы Пифагора или правила косинусов, в зависимости от данных, известных о треугольнике.

Пример 1: Нахождение третьей стороны по известным сторонам и углу

Для нахождения третьей стороны треугольника по известным сторонам и углу можно использовать теорему косинусов. Данная теорема гласит, что квадрат третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Допустим, у нас есть треугольник ABC, где известны стороны AB и BC, а также угол BAC.

Применяя формулу из теоремы косинусов, можем написать следующее:

AC² = AB² + BC² — 2 * AB * BC * cos(BAC)

AC² = 6² + 9² — 2 * 6 * 9 * cos(60°)

AC² = 36 + 81 — 108 * cos(60°)

Пользуясь тригонометрической таблицей, найдем значение косинуса угла 60°: cos(60°) = 0.5.

AC² = 36 + 81 — 108 * 0.5

AC² = 36 + 81 — 54

AC² = 63

Извлекая квадратный корень, получаем:

AC = √63

AC ≈ 7.94

Таким образом, третья сторона треугольника AC примерно равна 7.94.

Пример 2: Нахождение третьей стороны по известным сторонам

Предположим, у нас есть треугольник со сторонами a = 5 см и b = 7 см. Найдем длину третьей стороны.

Для нахождения третьей стороны треугольника, используем теорему Пифагора:

c² = a² + b²

где c — третья сторона треугольника.

Подставим известные значения:

c² = 5² + 7²

c² = 25 + 49

c² = 74

Извлечем квадратный корень обеих сторон уравнения:

c = √74

Получим, что третья сторона треугольника равна примерно 8.6 см.

Используя данную формулу, можно находить третью сторону треугольника, имея значения двух известных сторон.