Как правильно построить СДНФ — пошаговая инструкция и примеры

СДНФ (сокращение от Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма) – это один из основных методов анализа и синтеза логических функций. Зачастую, при работе с логическими схемами, разработчики сталкиваются с необходимостью приведения логического выражения к СДНФ. В данной статье мы рассмотрим, как правильно построить СДНФ и представим пошаговую инструкцию с примерами.

В самом общем виде, СДНФ представляет собой формулу, состоящую из дизъюнкции элементарных конъюнкций литералов переменных и их отрицаний. В заключении каждая элементарная конъюнкция перечисляет набор значений переменных, при которых функция принимает значение логической единицы. СДНФ используется для упрощения и анализа логических функций, а также для построения логических схем и автоматов.

Построение СДНФ основывается на таблице истинности логической функции, которая задается набором переменных и выражается с помощью логических операций И, ИЛИ и НЕ. Для построения СДНФ нужно просмотреть все строки таблицы истинности, в которых функция принимает значение логической единицы, и составить набор дизъюнкций, где каждый дизъюнкт соответствует одной такой строке.

Что такое СДНФ

СДНФ представляет собой дизъюнкцию (логическое «или») всех сочетаний значений переменных, при которых функция принимает значение «истина». Каждое сочетание состоит из переменных и их отрицаний, связанных оператором «и».

Например, если у нас есть логическая функция F(x, y, z) = x * (y + z), где * обозначает логическое «и», а + обозначает логическое «или», то СДНФ для этой функции будет следующей:

F(x, y, z) = x*y + x*z

СДНФ позволяет удобно представлять сложные логические функции и выполнять их анализ и упрощение. Она также может быть использована для построения схем и автоматов, которые реализуют данную функцию.

Зачем нужна СДНФ

СДНФ может быть полезной при решении различных задач, таких как оптимизация цифровых схем, выявление эквивалентных логических выражений, проверка правильности работы схемы, а также при построении таблиц истинности. Она позволяет сведение сложных логических операций к простым операциям «ИЛИ», «И» и «НЕ».

Знание СДНФ необходимо не только специалистам в области цифровой логики, но и разработчикам программного обеспечения, особенно при написании программ, работающих с беспроводными сетями, базами данных, а также в задачах оптимизации алгоритмов и построении сложных моделей.

Основным преимуществом СДНФ является возможность представления сложных логических функций в более простой и компактной форме. Благодаря этому удается снижать количество элементов и задержек в цифровых схемах, что приводит к экономии ресурсов и повышению производительности. Также использование СДНФ облегчает анализ и отладку схем, а также упрощает работу с логическими функциями в программировании.

Шаги построения СДНФ

Шаг 1: Запишите функцию в формате таблицы истинности с необходимыми переменными и результатами функции.

Шаг 2: Определите все строки таблицы, где функция принимает значение 1. Для каждой такой строки запишите дизъюнкцию переменных этой строки, где присутствует отрицание, если значение переменной в данной строке равно 0.

Шаг 3: Сложите все построенные дизъюнкции из предыдущего шага в одну большую дизъюнкцию. Это и будет СДНФ для данной функции.

Пример:

Рассмотрим функцию F(A, B, C) = A * B + (A + B) * C

Находим строки таблицы с функцией, принимающей значение 1: (A + B) * C и A * B + (A + B) * C

Суммируя полученные дизъюнкции, получаем СДНФ: (A + B) * C + A * B + (A + B) * C

Шаг 1: Выделение истинных значений

Для этого необходимо создать таблицу исходных значений функции, где каждой комбинации входных переменных соответствует значение функции.

Например, рассмотрим булеву функцию F(A, B, C), заданную следующей таблицей:

Из этой таблицы мы можем определить, какие комбинации входных переменных дают истинное значение функции.

В нашем примере, истинными значениями функции F являются следующие комбинации: (A=0,B=0,C=0), (A=0,B=1,C=0), (A=1,B=0,C=1).

Они будут использованы в дальнейших шагах для построения СДНФ.

Шаг 2: Построение конъюнкции

Конъюнкция — это логическое выражение, в котором все входящие элементы связаны между собой логической операцией «И».

Для построения конъюнкции необходимо взять все строки таблицы истинности, в которых значение функции равно единице, и объединить их с помощью операции «И».

Например, для функции F(A, B, C)=∑(0, 1, 4, 5, 7) находим строки, где значение функции равно 1:

• Строка 1: A=0, B=0, C=1
• Строка 2: A=0, B=1, C=0
• Строка 3: A=0, B=1, C=1
• Строка 4: A=1, B=0, C=0
• Строка 6: A=1, B=0, C=1
• Строка 7: A=1, B=1, C=1

Затем объединяем эти строки операцией «И»:

(A=0, B=0, C=1) И (A=0, B=1, C=0) И (A=0, B=1, C=1) И (A=1, B=0, C=0) И (A=1, B=0, C=1) И (A=1, B=1, C=1)

Результатом выполнения операции «И» будет конъюнкция, представленная в виде логического выражения:

C = (A ∧ B ∧ C) + (A ∧ ¬B ∧ C) + (A ∧ ¬B ∧ ¬C) + (¬A ∧ B ∧ C) + (¬A ∧ B ∧ ¬C) + (¬A ∧ ¬B ∧ C)

Таким образом, второй шаг — построение конъюнкции, позволяет нам выразить логическую функцию в виде СДНФ.

Шаг 3: Сокращение конъюнкций

После того, как мы построили таблицу истинности и записали СДНФ, мы можем начать сокращение конъюнкций. Этот шаг поможет нам упростить выражение и уменьшить количество конъюнкций.

Сокращение конъюнкций осуществляется путем объединения конъюнкций, в которых некоторые переменные имеют одинаковые значения. Для этого мы проверяем все возможные комбинации значений переменных и выбираем те, при которых значения всех конъюнкций равны 1.

Процесс сокращения конъюнкций можно представить в виде следующих шагов:

1. Сгруппировать конъюнкции, в которых некоторые переменные имеют одинаковые значения.
2. Объединить эти конъюнкции в одну, заменяя переменные, имеющие одинаковые значения, на сами значения.
3. Удалить дублирующиеся конъюнкции.

Например, пусть у нас есть следующая СДНФ:

(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ B ∧ C)

Мы можем заметить, что первая и третья конъюнкции имеют одинаковое значение для переменных A и B. Поэтому мы можем объединить их и записать их как одну конъюнкцию:

(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C)

После этого мы видим, что полученная конъюнкция уже содержит все возможные значения для переменных A, B и C. Поэтому мы можем удалить дублирующуюся конъюнкцию и получить окончательное упрощенное выражение:

(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C)

Таким образом, сокращение конъюнкций позволяет нам упростить СДНФ и уменьшить количество конъюнкций.

Примеры построения СДНФ

Рассмотрим несколько примеров построения СДНФ (сумм дизъюнкций неповторяющихся слагаемых) для различных булевых функций.

Пример 1:

Для данной булевой функции, ее СДНФ можно записать следующим образом:

F = A̅B + AB̅ + AB

Пример 2:

СДНФ для функции F в данном случае будет выглядеть так:

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + AB̅C + ABC

Пример 3:

Для данного примера, СДНФ будет иметь вид:

F = A̅BC + ABC̅ + ABC

Это всего лишь некоторые примеры возможных СДНФ для различных булевых функций. Используя алгоритмы построения, вы можете построить СДНФ для конкретной функции.

Пример 1: Простая логическая функция

Для начала рассмотрим пример простой логической функции, чтобы легче понять, как строить СДНФ.

Возьмем функцию F = A + B, где A и B – это переменные.

Данная функция имеет две переменные A и B, которые могут принимать значения 0 или 1. Значение функции F будет равно 1, если хотя бы одна из переменных A или B равна 1.

Для построения СДНФ нам нужно рассмотреть все возможные комбинации значений переменных, при которых функция F принимает значение 1:

• При A = 0 и B = 1 функция F принимает значение 1;
• При A = 1 и B = 0 функция F принимает значение 1;
• При A = 1 и B = 1 функция F принимает значение 1.

Теперь объединим эти комбинации значений переменных с помощью логической операции ИЛИ:

СДНФ функции F будет выглядеть следующим образом:

F = (ĀB) + (AB̄) + (AB)

Таким образом, мы построили СДНФ для простой логической функции F = A + B.