Почему множество целых чисел не является полем

Поле – это алгебраическая структура, в которой определены две операции: сложение и умножение. В поле выполнены основные алгебраические свойства, такие как коммутативность и ассоциативность операций, наличие нейтральных элементов и обратных элементов.

Зачастую думается, что целые числа – это поле, но на самом деле это не так.

Действительно, множество целых чисел, обозначаемое символом Z, является коммутативным кольцом с операциями сложения и умножения. Однако, оно не удовлетворяет одному из основных требований для поля – наличию обратного элемента для операции деления.

Причины неподобия множества целых чисел к полю

1. Отсутствие обратных элементов

Одной из причин, по которой множество целых чисел не является полем, является отсутствие обратных элементов относительно операций сложения и умножения. Для любого целого числа a, кроме нуля, не существует целого числа b такого, что a + b = 0 или a * b = 1. Например, для числа 2 не существует обратного элемента относительно операции сложения, так как нет целого числа, сумма которого с 2 равна 0.

2. Неполнота относительно операции деления

Множество целых чисел не является полем также из-за неполноты относительно операции деления. В отличие от поля, где любой элемент, кроме нуля, имеет обратный элемент, в множестве целых чисел не все числа имеют обратные элементы. Например, число 2 в множестве целых чисел не имеет обратного элемента относительно операции умножения, так как нет целого числа, произведение которого на 2 равно 1.

3. Несоблюдение аксиомы нуля

Еще одна причина, по которой множество целых чисел не является полем, заключается в несоблюдении аксиомы нуля. В поле для любого ненулевого элемента a выполняется, что a * 0 = 0, где 0 — ноль. Однако в множестве целых чисел не все числа обладают таким свойством. Например, для числа 2 выполняется, что 2 * 0 = 0, но для числа 0 это свойство не выполняется, так как 0 * 0 = 0.

4. Отсутствие коммутативности умножения

Множество целых чисел не является полем из-за отсутствия коммутативности умножения. В поле для любых элементов a и b выполняется коммутативное свойство a * b = b * a. Но в множестве целых чисел это свойство не всегда выполняется. Например, для чисел 2 и 3 выполняется, что 2 * 3 = 6, но 3 * 2 = 6, что нарушает коммутативность умножения.

Отсутствие обратных элементов

Необходимость дополнительных аксиом

Множество целых чисел не обладает свойством коммутативности умножения, поскольку произведение двух целых чисел может быть разным, в зависимости от их порядка. Например, умножение числа 2 на число 3 даст 6, но умножение числа 3 на число 2 уже даст 6. Это расхождение не позволяет установить однозначное правило для выполнения умножения и нарушает аксиому коммутативности.

Также множество целых чисел не имеет обратных элементов для сложения и умножения. Обратным элементом для сложения числа а является число -а, при котором сумма а+(-а)=0. Однако для любого целого числа а не существует целого числа, которое удовлетворяет условию а*х=1, где х — обратный элемент для умножения. Это дополнительное условие, которое не выполняется в множестве целых чисел.

Таким образом, множество целых чисел не является полем, и для установления полноты и последовательности операций необходимо дополнительно вводить аксиомы и ограничения.

Структурные ограничения

Во-первых, поле должно быть абелевой группой по сложению, то есть операции сложения должны быть замкнутыми, ассоциативными, коммутативными и обратными. Однако, если сложить два целых числа, результат может быть не целым числом, а рациональным или иррациональным. Таким образом, условие замкнутости не выполняется.

Во-вторых, поле должно быть коммутативным, то есть для операции умножения должна выполняться коммутативность. Но если умножить два целых числа, результат может быть целым числом, рациональным или иррациональным, что нарушает требование коммутативности.

В-третьих, поле должно удовлетворять дистрибутивному закону, согласно которому умножение должно дистрибутивно распространяться относительно сложения. Но если раскрыть скобки в выражении (a+b)*c, где a, b и c — целые числа, результат может быть целым числом или рациональным числом, что нарушает дистрибутивный закон.

Таким образом, множество всех целых чисел не удовлетворяет необходимым структурным ограничениям, чтобы быть полем.