Дисперсия – это одна из основных характеристик, описывающих разброс значений случайной величины относительно ее среднего значения. Формула для рассчета дисперсии имеет вид:
V(X) = 1/n * Σ(Xi — Xср)^2
где V(X) – дисперсия случайной величины X, n – количество значений в выборке, Σ – знак суммы, Xi – каждое из значений случайной величины, Xср – среднее значение случайной величины.
Особенность формулы дисперсии состоит в том, что в знаменателе стоит значение n-1, а не n. Это объясняется тем, что при расчете выборочной дисперсии мы вычитаем среднее значение Xср, что означает, что у нас остается n-1 независимых значений.
Если бы в формуле использовалось значение n в знаменателе, мы бы получили смещенное значение дисперсии. Использование n-1 является поправкой на степень свободы и позволяет получить несмещенную оценку дисперсии. Таким образом, формула дисперсии n-1 позволяет учитывать степень свободы в выборке и несмещенно оценивать разброс значений случайной величины относительно ее среднего значения.
Причины использования n-1 в формуле дисперсии
- Компенсация потери степеней свободы: Когда мы рассчитываем дисперсию, мы вычитаем среднее значение от каждого наблюдения. Однако, чтобы получить точную оценку разброса значений, одна степень свободы должна быть учтена за счет вычитания среднего значения из набора данных. Использование n-1 вместо n в формуле дисперсии обеспечивает компенсацию этой потери степеней свободы.
- Корректировка смещения: Если мы используем n вместо n-1 в формуле дисперсии, мы получим смещенную оценку разброса значений в генеральной совокупности. Смещение — это разница между средним значением оценки и истинным значением параметра, которое мы пытаемся измерить. Использование n-1 в формуле дисперсии позволяет снизить смещение и получить менее смещенную оценку значений в генеральной совокупности.
- Соответствие с выборочным средним: Использование n-1 в формуле дисперсии обеспечивает соответствие с выборочным средним. Если мы использовали n вместо n-1, выборочное среднее и дисперсия были бы некоординации, что привело бы к неправильной интерпретации данных.
Таким образом, использование n-1 в формуле дисперсии является стандартной практикой в статистике для получения более точной оценки разброса значений на основе выборочных данных.
Порядок расчетов и общепринятая практика
Для более наглядного примера, представим ситуацию, когда у нас есть определенная выборка единиц. Если мы знаем их точное количество, то их среднее значение будет равно количеству единиц, так как среднее арифметическое числа равных единиц — они сами.
Однако, если у нас есть выборка, и мы пытаемся оценить ее среднее значение, нам необходимо учесть ее вариацию внутри выборки. Наша оценка будет менее точной, чем если бы у нас была информация о всей генеральной совокупности. Поэтому, для использования более точной оценки дисперсии, мы используем поправку на (n-1).
| Выборка | n | Дисперсия с поправкой на (n-1) |
|---|---|---|
| 1, 2, 3 | 3 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
В таблице представлены примеры расчета дисперсии с поправкой на (n-1) для двух выборок. В первом случае у нас есть три числа, и они имеют различные значения. Дисперсия с поправкой на (n-1) равна 1, что означает, что значения имеют некоторую вариацию внутри выборки. Во втором случае у нас есть только одно число, поэтому дисперсия равна 0, так как нет вариации внутри выборки.
Таким образом, использование поправки на (n-1) позволяет учесть вариацию внутри выборки и сделать более точную оценку дисперсии.
Избежание смещения и точность оценки
Формула дисперсии с использованием n-1, а не n, предназначена для избежания смещения и обеспечения более точной оценки стандартного отклонения.
Когда мы рассчитываем дисперсию, мы используем выборочные данные, а не полную совокупность. Если мы используем формулу дисперсии с использованием n в знаменателе, оценка дисперсии будет смещена в меньшую сторону. Это означает, что мы будем undervaluing реальное значение дисперсии и стандартного отклонения.
Использование n-1 вместо n в формуле позволяет компенсировать этот смещение и получить более точную оценку. Это особенно важно, когда у нас есть ограниченный объем данных, потому что оценка дисперсии будет ближе к реальному значению в совокупности.
Поэтому, используя формулу дисперсии с n-1 в знаменателе, мы можем получить более точную оценку дисперсии и стандартного отклонения. Это помогает предотвратить смещение и обеспечивает более надежные результаты статистических анализов.