Синус (sin) — одна из основных тригонометрических функций, которая выражает отношение длины противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. В школьных курсах алгебры и геометрии мы изучаем основные значения синуса для углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые запоминаем и используем в вычислениях. Однако, что происходит с значениями синуса для углов, отличных от этих специальных значений?
Для ответа на вопрос о равенстве синусов углов 135 и 45 градусов воспользуемся геометрическими свойствами и базовыми тригонометрическими функциями. Помним, что синус 45 градусов равен 1/√2, а синус 135 градусов равен -1/√2. Кажется, что значения разные, но на самом деле они равны.
Почему? Ответ прост: синус является периодической функцией с периодом 360 градусов (или 2π радиан). Это означает, что прибавление или вычитание полного круга (или 2π радиан) к углу не изменит значение синуса.
Таким образом, синус 135 градусов равен синусу угла 135+360=495 градусов. Угол 495 градусов, в свою очередь, можно представить как 360+135 градусов, что равно 495 градусам. Но значение синуса для угла 360+135 градусов будет точно таким же, как для угла 135 градусов. Следовательно, синус 135 градусов равен синусу 45 градусов.
Синус 135 и синус 45
Синус 135
Угол 135 градусов находится в третьем квадранте, где синус положительный. Для нахождения синуса 135 градусов, мы можем использовать систему координат, где ось X соответствует горизонтальной стороне треугольника, а ось Y – вертикальной.
Пусть гипотенуза треугольника равна 1, а противолежащий катет будет отрицательным числом, так как угол находится в третьем квадранте. При таких условиях, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения противолежащего катета. Затем, используя определение синуса, мы можем получить синус 135 градусов.
Синус 45
Угол 45 градусов находится во втором квадранте, где синус положительный. Для нахождения синуса 45 градусов, мы можем использовать ту же систему координат, что и для угла 135. При таких условиях, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения противолежащего катета. Затем, используя определение синуса, мы можем получить синус 45 градусов.
Сравнение синуса 135 и синуса 45
Интересно отметить, что синус 135 градусов и синус 45 градусов равны по модулю. Это означает, что их значения противоположны друг другу, но имеют одинаковую абсолютную величину. Такое явление происходит из-за симметрии синусоиды и определения синуса.
Математически это можно выразить следующим образом:
- sin(135°) = -sin(45°)
Таким образом, синус 135 градусов равен синусу 45 градусов, но с противоположным знаком. Это демонстрирует интересное свойство синусов в прямоугольном треугольнике и их взаимосвязь в разных квадрантах системы координат.
Определение синуса
Формула для определения синуса угла A: sin(A) = a / c, где a – длина противолежащей стороны, c – длина гипотенузы.
Угол 45 градусов относится к особому классу углов, называемых основными углами. В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов, длины сторон соотносятся по формуле a = c / √2, где a – длина противолежащей стороны, c – длина гипотенузы. Подставив значения в формулу синуса, получим sin(45) = a / c = (c / √2) / c = 1 / √2 = √2 / 2.
Угол 135 градусов является суплементным углом к углу 45 градусов, что означает, что сумма этих углов составляет 180 градусов. Значит, sin(135) = √2 / 2.
Таким образом, синус 135 градусов равен синусу 45 градусов, их значения равны √2 / 2.
Угол 135 градусов
Угол 135 градусов находится в третьем квадранте координатной плоскости. Для определения синуса угла в радианах необходимо использовать формулу: sin(угол) = противоположная сторона / гипотенуза.
В третьем квадранте противоположная сторона отрицательна, так как она располагается ниже оси OX, а гипотенуза положительна. Таким образом, для угла 135 градусов синус равен отрицательному значению синуса угла 45 градусов.
Это значит, что sin(135°) = -sin(45°).
Точное математическое объяснение заключается в том, что синусы 45 и 135 градусов симметричны относительно оси OX. Поэтому их значения отличаются только знаком. Если синус угла 45 градусов равен 0.707, то синус угла 135 градусов будет -0.707.
Таким образом, при рассмотрении угла 135 градусов можно сказать, что его синус равен -sin(45°).
Угол 45 градусов
Угол 45 градусов имеет несколько специальных свойств:
- Он равен углу, образованному двумя сторонами перпендикуляра, разделенного на две равные части.
- В прямоугольном треугольнике с катетами равными по длине угол 45 градусов образуется между гипотенузой и катетом.
- Синус угла 45 градусов равен косинусу этого же угла и оба значений равны √2 / 2 (приближенно 0.7071).
Фактически, синус угла 135 градусов также равен косинусу угла 45 градусов. Получается, что синусы этих углов равны между собой. Это следует из свойства периодичности тригонометрических функций и математического определения синуса и косинуса.
То есть, сумма угла 45 градусов и угла 90 градусов (45 + 90 = 135) дает угол 135 градусов, который имеет такие же значения синуса и косинуса, как угол 45 градусов.
Это математическое свойство может быть использовано для упрощения вычислений и решения задач тригонометрии, включая нахождение синуса и косинуса угла 135 градусов.
Свойства синуса
Свойства синуса включают следующие:
- Периодичность: синус является периодической функцией с периодом 360 градусов или 2π радиан. Это означает, что значения синуса повторяются через каждые 360 градусов (или 2π радиан).
- Симметрия: синус является нечетной функцией, что означает, что sin(-θ) = -sin(θ). Это свойство позволяет связать значения синуса на положительной и отрицательной оси угла.
- Ограничение диапазона значений: значения синуса всегда находятся в диапазоне от -1 до 1. Независимо от значения угла, синус всегда будет меньше или равен 1 величине.
- Синусы сопряженных углов: синус угла θ и его сопряженного угла (180° — θ) равны между собой. Например, sin(45°) = sin(180° — 45°) = sin(135°).
Именно свойство синусов сопряженных углов позволяет утверждать, что синус 135 равен синусу 45. Это следует из того, что 135° и 45° являются сопряженными углами, и значения их синуса совпадают.
Доказательство равенства
Для доказательства равенства синусов углов 135° и 45° необходимо обратиться к определению синуса и свойствам элементарных функций.
Синус угла определяется как отношение противоположного катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол CAB равен 135°, а угол ABC равен 45°. Пусть его гипотенуза равна 1 (можно выбрать любую длину для гипотенузы, это не влияет на отношение).
Тогда длина стороны AB будет равна √2 (по теореме Пифагора), а длина стороны AC будет равна √2/2 (по свойствам прямоугольных треугольников).
Синус угла CAB равен отношению противоположного катета (стороны AC) к гипотенузе (стороне AB), то есть sin(135°) = (√2/2) / √2 = 1/√2.
Теперь рассмотрим треугольник DEF, в котором угол DFE равен 45°, а угол DEF равен 135°. Пусть его гипотенуза равна 1.
Длина стороны DE будет равна √2 (по теореме Пифагора), а длина стороны DF будет равна √2/2 (по свойствам прямоугольных треугольников).
Синус угла DEF равен отношению противоположного катета (стороны DF) к гипотенузе (стороне DE), то есть sin(45°) = (√2/2) / √2 = 1/√2.
Таким образом, мы доказали равенство sin(135°) = sin(45°) = 1/√2, что подтверждает изначальное утверждение.