Синус и косинус — две основные тригонометрические функции, которые широко применяются в математике, физике и других науках. Синус и косинус определены как значения отношений сторон прямоугольного треугольника.
Синус угла определяется как отношение длины противоположной стороны к гипотенузе. Косинус угла определяется как отношение длины прилежащей стороны к гипотенузе.
Закономерность «синус 120 равен косинусу 30» объясняется с помощью единичной окружности. Единичная окружность — это круг радиусом 1, центр которого находится в начале координат.
Если провести луч, начинающийся в центре окружности и направленный на угол 30 градусов, то он будет пересекать верхнюю полуокружность точно на половине пути между началом и концом горизонтального радиуса.
Синус 120 — это длина противоположной стороны треугольника, образованного радиусом на окружности и лучом, составляющим 120 градусов. Если провести перпендикуляр, опущенный из точки пересечения радиуса и луча, на горизонтальный радиус, то этот перпендикуляр делит тот радиус пополам.
Таким образом, перпендикуляр на горизонтальном радиусе в единичной окружности разделяет его на две равные части, что означает, что синус 120 равен косинусу 30.
Математический подход
Равенство синуса 120 градусов и косинуса 30 градусов может быть понятно посредством математического подхода. Для начала рассмотрим определения этих тригонометрических функций.
| Тригонометрическая функция | Определение |
| Синус | Соотношение между длиной противоположного катета и длиной гипотенузы в прямоугольном треугольнике. |
| Косинус | Соотношение между длиной прилежащего катета и длиной гипотенузы в прямоугольном треугольнике. |
Теперь продолжим рассуждение. Угол 120 градусов можно представить в виде 90 градусов (прямой угол) плюс 30 градусов. Согласно определению синуса и косинуса, синус 120 равен синусу 30 градусов, а косинус 120 равен косинусу 30 градусов. Это связано с тем, что их определения относятся к прямоугольным треугольникам, а не к углам самостоятельно.
Геометрическое объяснение
Для понимания, почему синус 120 равен косинусу 30, необходимо обратиться к геометрическому представлению треугольника на плоскости.
Рассмотрим треугольник ABC, у которого один из углов равен 120 градусов. Пусть сторона AB образует угол 30 градусов с положительным направлением оси X, а сторона BC лежит на положительной части оси Y.
Тогда точка A находится в первом квадранте координатной плоскости, а точка C – в третьем квадранте.
Согласно геометрическому определению синуса и косинуса, синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус угла – отношению прилежащего катета к гипотенузе.
При этом можно заметить, что катет, противолежащий углу 120 градусов в треугольнике ABC, соответствует стороне AB, а катет, противолежащий углу 30 градусов, соответствует стороне BC.
Из этого следует, что синус 120 равен косинусу 30, так как соответствующие им катеты треугольника ABC являются одной и той же стороной треугольника.
Таким образом, геометрическое объяснение заключается в анализе соответствующих катетов и использовании геометрического определения синуса и косинуса.