Решение неравенств – это важная задача в математике, так как оно позволяет найти множество значений переменной, при которых неравенство будет выполняться. В данной статье рассмотрим неравенство 15х² — 10х и будем искать количество целочисленных решений данного неравенства.
Неравенство 15х² — 10х, где х – переменная, может быть решено путем анализа его графика или с помощью алгебраических методов. Определение количества целочисленных решений неравенства позволяет найти все целочисленные значения переменной х, при которых данное неравенство имеет выполнение.
Для начала проанализируем график данного неравенства. Из графика можно увидеть, что это парабола, которая открывается вверх и имеет ветви вверху и внизу оси OX. Места, где она пересекает ось OX, являются точками, в которых неравенство 15х² — 10х = 0. То есть, решением данного уравнения являются значения переменной х, при которых парабола пересекает ось OX.
Количество решений неравенства
Для начала заметим, что данное неравенство является квадратным трехчленом. Чтобы определить, сколько целочисленных решений оно имеет, нужно рассмотреть его график и проанализировать его поведение.
В качестве первого шага находим вершины параболы, определяя координаты точки минимума или максимума. Для этого используем формулу x = -b / 2a, где a и b — коэффициенты при x² и x соответственно.
В данном случае у нас имеется следующий трехчлен: 15х² — 10х. Следовательно, коэффициенты a и b равны 15 и -10 соответственно. Подставив их в формулу, найдем x:
x = -(-10) / (2 * 15) = 10 / 30 = 1/3
Таким образом, x = 1/3 — координата x вершины параболы.
Далее, рассмотрим значение нашего неравенства при x < 1/3 и x > 1/3. Подставив x = 0, получим следующее значение неравенства:
15 * 0² — 10 * 0 = 0
Таким образом, получаем, что при x < 1/3 значение неравенства равно 0.
Теперь рассмотрим значение при x > 1/3. Подставив x = 1, получим:
15 * 1² — 10 * 1 = 5
Таким образом, при x > 1/3 значение неравенства равно 5.
Таким образом, мы рассмотрели метод определения количества целочисленных решений заданного неравенства и получили ответ. Если есть возможность, можно также убедиться в правильности ответа, графически изобразив график данного трехчлена.
Целочисленные решения неравенства
Для определения целочисленных решений данного неравенства необходимо проанализировать знаки выражения 15х² — 10х в различных интервалах значений х.
Первым шагом требуется найти корни уравнения 15х² — 10х = 0. Корни найдены при помощи факторизации выражения и равны 0 и 2/3.
Затем происходит разбиение числовой оси на три интервала через найденные корни: (-∞, 0), (0, 2/3) и (2/3, +∞). В каждом из интервалов необходимо определить знак выражения 15х² — 10х, чтобы понять, когда оно меньше нуля.
Таким образом, целочисленные решения неравенства 15х² — 10х < 0 представлены всеми целыми числами в интервале (0, 2/3).
Итак, множество целочисленных решений неравенства 15х² — 10х < 0 можно записать в виде х ∈ (0, 2/3).
Решения неравенства 15х² — 10х
- Решим уравнение 15х² — 10х = 0, чтобы найти точки, где функция равна нулю. Это достигается путем факторизации выражения: 5х(3х — 2) = 0. Получаем два значения x: x₁ = 0 и x₂ = 2/3.
- Далее, нужно разбить интервалы числовой прямой на три части, используя найденные точки. Возьмем произвольные значения x из каждого интервала, чтобы определить знак фукнции. Например, для интервала (-бесконечность, 0), возьмем x = -1. Подставим это значение в исходную функцию: 15*(-1)² — 10*(-1) = 15 — (-10) = 25. Получается положительное значение. Следовательно, в данном интервале функция положительна.
- Далее, рассмотрим интервал (0, 2/3). Для x = 1/2, подстановка в функцию дает следующий результат: 15*(1/2)² — 10*(1/2) = 15*(1/4) — 5 = 15/4 — 5 = -5/4. Получается отрицательное значение. Значит, в этом интервале функция отрицательна.
- Наконец, рассмотрим интервал (2/3, +бесконечность). Пусть x = 1. Подстановка в функцию дает: 15*1² — 10*1 = 15 — 10 = 5. Значение положительное, поэтому в данном интервале функция положительна.
Итак, мы получили, что функция 15х² — 10х положительна на интервалах (-бесконечность, 0) и (2/3, +бесконечность), а отрицательна на интервале (0, 2/3). Таким образом, количество целочисленных решений неравенства 15х² — 10х > 0 равно 2.
Количество решений неравенства
Графический подход заключается в построении графика функции y = 15х² — 10х и определении интервалов, на которых она положительна или отрицательна. Для этого следует найти корни уравнения 15х² — 10х = 0, которые являются точками пересечения графика с осью абсцисс. Затем нужно определить знак функции на каждом из интервалов между корнями. Так, если функция положительна на каком-то интервале, значит неравенство 15х² — 10х > 0 выполняется на этом интервале. Если функция отрицательна на интервале, значит неравенство не выполняется на данном интервале.
Аналитический подход заключается в разбиении неравенства на множители и определении знака каждого из них. Исходное неравенство можно переписать в виде 5х(3х — 2) > 0. Решением этого неравенства будет множество точек, для которых один из множителей равен нулю, или один множитель положителен, а другой отрицателен.
Таким образом, количество решений неравенства 15х² — 10х > 0 зависит от количества корней уравнения 15х² — 10х = 0 и знаков множителей. Количество решений может быть различным в зависимости от значений коэффициентов в уравнении.
Целочисленные значения х, удовлетворяющие неравенству
Для начала, мы можем выразить выражение 15х² — 10х в виде умножения:
15х² — 10х = х(15х — 10)
Теперь мы можем найти корни этого уравнения, приравняв каждый из множителей к нулю.
1) х = 0
2) 15х — 10 = 0
Первое уравнение даёт нам корень х = 0.
Второе уравнение можно решить следующим образом:
15х — 10 = 0
15х = 10
х = 10/15
х = 2/3
Так как мы ищем только целочисленные значения х, корень х = 2/3 не удовлетворяет нашим требованиям.
Итак, единственное целочисленное значение х, удовлетворяющее неравенству 15х² — 10х, это х = 0.
Как определить количество решений неравенства?
Для определения количества решений неравенства необходимо анализировать его график на координатной плоскости. Для начала, нужно переписать неравенство в виде уравнения, приравняв его к нулю:
15х² — 10х = 0
Затем решаем полученное квадратное уравнение, найдя корни:
x₁,₂ = (-b ± √(b² — 4ac)) / (2a)
После того как мы найдем корни уравнения, мы можем ответить на вопрос о количестве решений неравенства:
1. Если число корней уравнения равно 0, то неравенство не имеет решений.
2. Если число корней равно 1, то неравенство имеет решение, но только одно.
3. Если число корней равно 2, то неравенство имеет два решения.
Таким образом, для определения количества решений неравенства необходимо проанализировать число корней соответствующего уравнения.
Примеры решения неравенства
1) Неравенство 15х² — 10х > 0.
Для начала найдем корни данного квадратного уравнения:
15х² — 10х = 0
x(15х — 10) = 0
Таким образом, имеем два значения x: x=0 и 15х — 10 = 0: x = 10/15 = 2/3.
Построим числовую ось и отметим найденные корни на ней.
Затем выберем интервалы между корнями и проверим выполняется ли неравенство на этих интервалах.
Например, между x=0 и x=2/3 будет промежуток, где неравенство не выполняется, так как функция 15х² — 10х будет иметь отрицательные значения.
2) Неравенство 15х² — 10х < 0.
Аналогично рассмотрим корни уравнения, как в предыдущем примере, и построим числовую ось.
Выберем интервалы между найденными корнями и проверим выполняется ли неравенство на этих интервалах.
Например, между x=0 и x=2/3 будет промежуток, где неравенство выполняется, так как функция 15х² — 10х будет иметь положительные значения.