Как найти уравнение касательной к графику функции, параллельной прямой — подробное руководство и примеры

Для решения задачи о нахождении уравнения касательной к графику функции, параллельной заданной прямой, необходимо знать основные принципы дифференциального исчисления. Касательная к графику функции является прямой, которая касается его в заданной точке и имеет также одинаковый угловой коэффициент с заданной прямой.

Для начала необходимо найти производную данной функции. Производная показывает изменение функции в каждой точке ее графика. По определению, производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке. Если задана прямая, параллельная касательной, то угловой коэффициент этой прямой будет равен угловому коэффициенту касательной.

Подставив найденную производную в уравнение прямой, проходящей через нужную точку, можно найти искомое уравнение касательной к графику функции, параллельной заданной прямой. Таким образом, овладение основами дифференциального исчисления и умением составлять и решать уравнения позволит легко и быстро находить уравнения касательных к графикам функций, параллельных заданным прямым.

Как найти уравнение касательной к графику функции

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции, необходимо выполнить несколько шагов. Для начала определим точку, в которой будет проходить касательная. Затем найдем значение производной функции в этой точке. Производная функции выражает скорость изменения значения функции и показывает наклон касательной в данной точке графика функции.

Чтобы найти производную функции, возьмем ее первообразную и продифференцируем по переменной. Полученную производную обозначим как f'(x).

Теперь найдем значение производной в выбранной точке графика функции. Подставим значение x в f'(x) и получим значение производной в этой точке. Оно будет показывать наклон касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции может быть записано в виде y — y1 = f'(x1)(x — x1), где (x1, y1) — координаты выбранной точки на графике функции, а f'(x1) — значение производной функции в этой точке.

Таким образом, если нужно найти уравнение касательной к графику функции в определенной точке, необходимо определить значение производной функции в этой точке и использовать его в соответствующем уравнении.

Способ 1: Используем производную

Один из способов составления уравнения касательной к графику функции параллельной прямой основан на использовании производных. Для этого необходимо знать основные определения и формулы, связанные с производными.

Шаги:

1. Найдите производную функции, для которой нужно составить уравнение касательной. Это можно сделать с помощью формулы производной или правил дифференцирования.
2. Найдите значение производной в точке, через которую будет проходить касательная. Для этого подставьте координаты точки в найденную производную.
3. Составьте уравнение касательной, используя найденное значение производной.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = 2x^2 + 3x — 1 и точку (2, 9). Чтобы составить уравнение касательной к графику функции параллельной прямой в этой точке, нужно:

1. Найти производную функции f'(x). Здесь, f'(x) = 4x + 3.
2. Найти значение производной в точке x = 2: f'(2) = 4 * 2 + 3 = 11.
3. Составить уравнение касательной, используя найденное значение производной: y — 9 = 11(x — 2).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке (2, 9) будет: y = 11x — 13.

Способ 2: Используем угловой коэффициент прямой

Другой способ составить уравнение касательной к графику функции параллельной прямой связан с использованием углового коэффициента этой прямой.

Итак, у нас есть функция y = f(x) и точка (x₀, y₀) на графике этой функции. Мы хотим найти уравнение касательной к графику, которая параллельна прямой с заданным угловым коэффициентом k.

Для начала определим угловой коэффициент касательной прямой, который совпадает с угловым коэффициентом заданной прямой k. По определению, угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x. Таким образом, мы можем записать:

Затем найдем производную функции f(x) и подставим в нее значение x = x₀ для получения скорости изменения функции в точке (x₀, y₀). Это позволит нам найти значение изменения y при изменении x на единицу. Мы обозначим эту величину как k₂:

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной прямой равен угловому коэффициенту заданной прямой, а также что он равен изменению y при изменении x на единицу. Поэтому мы можем написать уравнение касательной прямой:

Где (x₀, y₀) — координаты точки на графике функции, а k — угловой коэффициент прямой, к которой параллельна касательная.

Таким образом, используя угловой коэффициент прямой, мы можем легко составить уравнение касательной к графику функции параллельной заданной прямой. Этот метод может быть особенно полезен, когда у нас уже есть информация о заданной прямой и мы хотим найти соответствующую параллельную касательную.