Производная – один из основных инструментов математического анализа. Она позволяет находить скорость изменения функции в каждой точке её области определения. Существует много правил и формул для нахождения производных различных функций. Одним из таких правил является правило производной произведения.
Производная произведения двух функций – это сложный процесс, который требует некоторой подготовки и знания определенных правил. В данной пошаговой инструкции мы покажем, как правильно находить производную произведения двух скобок.
Для начала, представим, что у нас есть функция f(x) и функция g(x), и мы хотим найти производную их произведения. Для этого применим формулу: (f(x) * g(x))’ = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).
Шаг 1. Разложение скобок на множители
Производная произведения скобок может быть вычислена с использованием правила дифференцирования произведений. Чтобы применить это правило, необходимо сначала разложить данное произведение на множители.
Разложение скобок на множители подразумевает выделение каждого множителя в отдельную скобку. Для этого:
- Выделяем первый множитель и помещаем его в скобку.
- Выделяем второй множитель и также помещаем его в скобку.
- Повторяем этот шаг для каждого множителя в произведении.
Например, если дано произведение (x + 2)(3x + 5), его можно разложить на множители следующим образом:
- (x + 2)
- (3x + 5)
Полученные множители можно использовать для вычисления производной произведения скобок с использованием правила дифференцирования произведений.
Шаг 2. Вычисление производных каждого множителя
После того, как мы представили скобки в форме произведения, необходимо вычислить производные каждого множителя.
Для этого рассмотрим каждый множитель отдельно и применим правила дифференцирования. Если множитель является константой, то его производная будет равна нулю. Если множитель представлен в виде переменной, его производная будет равна 1.
Если множитель представлен в виде функции, применяем соответствующее правило дифференцирования для этой функции. Например, если множитель – это функция синуса, применяем правило дифференцирования для синуса.
Таким образом, для каждого множителя вычисляем его производную. Полученные значения будут являться новыми множителями в исходной формуле.
Итак, шаг 2 заключается в том, чтобы вычислить производные каждого множителя из исходной формулы и записать их в виде произведения.
Шаг 3. Применение правила дифференцирования произведения
Теперь мы можем применить правило дифференцирования произведения функций для нашего выражения. Записывая данное выражение в виде произведения двух функций, а именно f(x) = (x + a)(x + b), мы можем воспользоваться следующим правилом:
| Правило дифференцирования произведения | Пример |
|---|---|
| (u * v)’ = u’ * v + v’ * u | (x + a)(x + b)’ = (x + a)’ * (x + b) + (x + b)’ * (x + a) |
| (u * v * w)’ = u’ * v * w + v’ * u * w + w’ * u * v | (x + a)(x + b)(x + c)’ = (x + a)’ * (x + b) * (x + c) + (x + b)’ * (x + a) * (x + c) + (x + c)’ * (x + a) * (x + b) |
Используя данное правило, мы можем продифференцировать произведение скобок, чтобы найти производную функции f(x).
Применяя правило дифференцирования произведения к нашему выражению f(x) = (x + a)(x + b), мы получаем:
f'(x) = (x + a)’ * (x + b) + (x + b)’ * (x + a)
Теперь остается продифференцировать каждый компонент произведения по отдельности и затем сложить полученные результаты.