Почему синус в квадрате плюс косинус в квадрате равно 1 — объяснение и доказательство этой формулы

Формула sin^2(x) + cos^2(x) = 1 является одним из фундаментальных тождеств тригонометрии. Она устанавливает связь между двумя основными тригонометрическими функциями — синусом (sin) и косинусом (cos).

Для начала, давайте разберемся, что такое sin(x) и cos(x). Синус угла определяется как отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где x — это величина угла. Косинус же определяется как отношение прилежащей стороны к гипотенузе. Оба значения заданы числами от -1 до 1 включительно и зависят от значения угла x.

Теперь рассмотрим формулу sin^2(x) + cos^2(x). Если вспомнить, что sin(x) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos(x) — это отношение прилежащей стороны к гипотенузе, то понятно, что квадраты этих функций отражают площади соответствующих сторон прямоугольного треугольника.

Зная, что сумма площадей противоположной и прилежащей сторон треугольника равна площади гипотенузы, мы можем записать sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Таким образом, мы доказали данное тождество тригонометрии и установили связь между синусом и косинусом.

Объяснение и доказательство формулы sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Исходя из геометрического определения, синус и косинус треугольника справедливо выражаются через его стороны:

sin(x) = opposite/hypotenuse

cos(x) = adjacent/hypotenuse

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами adjacent, opposite и hypotenuse, где angle x — угол между adjacent и hypotenuse.

Используя выражения для sin и cos, можем записать:

sin^2(x) = (opposite/hypotenuse)^2 = opposite^2 / hypotenuse^2

cos^2(x) = (adjacent/hypotenuse)^2 = adjacent^2 / hypotenuse^2

Так как adjacent^2 + opposite^2 = hypotenuse^2 (это известная теорема Пифагора), подставим значения adjacent^2 и opposite^2 в уравнения sin^2(x) и cos^2(x):

sin^2(x) + cos^2(x) = opposite^2 / hypotenuse^2 + adjacent^2 / hypotenuse^2 = (opposite^2 + adjacent^2) / hypotenuse^2 = hypotenuse^2 / hypotenuse^2 = 1

Таким образом, получаем доказательство формулы sin^2(x) + cos^2(x) = 1 через использование геометрических соображений и теоремы Пифагора.

Геометрическое доказательство равенства

Равенство sin²(x) + cos²(x) = 1 можно доказать с помощью геометрической интерпретации функций синуса и косинуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой c, где угол между сторонами a и c равен x. Тогда:

sin(x) = a/c — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

cos(x) = b/c — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Согласно теореме Пифагора:

a² + b² = c²

Заменим значения a и b:

(c * sin(x))² + (c * cos(x))² = c²

Раскроем скобки и сократим на c²:

sin²(x) + cos²(x) = 1

Таким образом, равенство sin²(x) + cos²(x) = 1 геометрически доказано.

Математическое доказательство равенства

Рассмотрим равенство sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и попытаемся его доказать математически.

Используя основные тригонометрические свойства, воспользуемся формулой:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1
2. 1 — sin^2(x) = cos^2(x)

Применяя формулу синуса:

3. sin^2(x) = (1 — cos^2(x))

Подставляем (1 — cos^2(x)) в первое выражение:

4. (1 — cos^2(x)) + cos^2(x) = 1
5. 1 — cos^2(x) + cos^2(x) = 1

Если мы сократим cos^2(x) во втором выражении, получим:

6. 1 = 1

Таким образом, мы доказали математическим путем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1.